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NATURE BY NUMBERS · THE MOVIE LA PELÍCULA
INTRO About STILLS MOVIE WIP

This section is meant to be a complement to the animation, in order to better understand the theoretical basis that you can find behind the sequences. It was also, more or less, the appearance of the screenplay in the days that I was planning this project.

  Esta sección pretende ser un complemento a la animación, para poder entender mejor la base teórica que se encierra detrás de ella. Era también, más o menos, el aspecto que tenía el guión previo que elaboré cuando planificaba el proyecto.

The animation begins by presenting a series of numbers. This is a very famous and recognized sequence since many centuries ago in the Western World thanks to Leonardo of Pisa, a thirteenth century Italian mathematician, also called Fibonacci. So it is known as Fibonacci Sequence, even although it had been described much earlier by Indian mathematicians.

  La animación arranca presentando una sucesión de números. Una serie muy famosa y reconocida desde hace muchos siglos en el mundo occidental gracias a Leonardo de Pisa, una matemático italiano del siglo XIII, también llamado Fibonacci. Por eso se la conoce como Sucesión de Fibonacci, aunque ya había sido descrita con mucha anterioridad por los matemáticos hindúes.
 
Fibonacci Series

This is an infinite sequence of natural numbers where the first value is 0, the next is 1 and, from there, each amount is obtained by adding the previous two.

 

Fibonacci Series

  Se trata de una sucesión infinita de números naturales donde el primer valor es 0, el siguiente es 1 y, a partir de ahí, cada cantidad se obtiene sumando las dos anteriores.
The values of this sequence have been appearing in numerous applications, but one of the most recognized is the Fibonacci Spiral, which has always been used as an approximation to the Golden Spiral (a type of logarithmic spiral) because it is easier to represent with help of a simple drawing compass.

This is the next thing to be shown on the animation, appearing just after the first values on the succession: the process of building one of these spirals.

 

Los valores de esta sucesión aparecen en numerosas aplicaciones, pero una de la más reconocida es la Espiral de Fibonacci, que siempre se ha utilizado como una aproximación a la Espiral Áurea (un tipo de espiral logarítmica) porque es más fácil de representar simplemente con la ayuda de un compás.

Eso es lo siguiente que se muestra en la animación, justo después de aparecer los primeros números de la sucesión: el proceso de construcción de una de estas espirales.

Fibonacci Series

We will create first a few squares that correspond to each value on the sequence: 1x1 - 1x1 - 2x2 - 3x3 - 5x5 - 8x8, etc. And they are arranged in the way how we see in the diagram at left.

Then we draw a quarter circle arc (90°) within each little square and we can easily see how it builds step by step the Fibonacci Spiral, looking at right graphic.

I have introduced a small optical correction in the animation in order to get the resulting curve more like a true Golden Spiral (more harmonious and balanced), as explained on this plate. It's something similar to what happens when we try to approach to an ellipse by drawing an oval using circular segments: the result is not the same as a true ellipse. And it shows.


IMPORTANT NOTE: while watching the animation conveys the idea that the Fibonacci spiral (or the Golden Spiral, it doesn't matter) is on the origin of the shape of a Nautilus, this isn't absolutely right.

It's funny because if you perform this search at Google Images: “spiral + nautilus” you will see how many images suggest that this shell is really based on the construction system described above.

But this isn't correct, as it's outlined on this other page.

 

Primero se van creando cuadraditos que corresponden a cada valor de la sucesión: 1x1 - 1x1 - 2x2 - 3x3 - 5x5 - 8x8, etc y se disponen de la manera que vemos en el gráfico de la izquierda.

A continuación podemos trazar un cuarto de arco de circunferencia (90º) dentro de cada cuadradito y fácilmente vemos cómo surge la Espiral de Fibonacci, a la derecha.

En la animación se ha introducido una pequeña corrección óptica para hacer que la curva resultante sea más parecida a una verdadera Espiral Áurea (más armoniosa y equilibrada), tal como se explica en ésta lámina. Es algo parecido a lo que ocurre cuando tratamos de aproximarnos a una elipse trazando un óvalo con segmentos de circunferencia: el resultado no es lo mismo que una verdadera elipse. Y se nota.

NOTA IMPORTANTE: aunque viendo la animación se transmite la idea de que la Espiral de Fibonacci (o la Espiral Áurea, tanto da) está en la base de la forma de un Nautilus, realmente no es así.

Es curioso, porque si buscáis en Google Images: “espiral+nautilus” veréis cantidad de imágenes que sugieren que esta concha realmente se basa en el sistema constructivo descrito más arriba.

Pero no es correcto, como bien se apunta en ésta otra página.

Fibonacci Series

The truth is that this is something I discovered when I had completely finished the screenplay for this project and I was too lazy to change. Therefore I must confess that I did a kind of cheat with this animation. Or you could explain in a more "genteel" way, saying that I have taken an artistic license ;-)

 

Lo cierto es que es algo que descubrí cuando ya tenía completamente planteado el guión del proyecto y me dio mucha pereza cambiar. Por tanto he de confesar que en la animación he hecho trampa. O se podría explicar de un modo más “fino”, diciendo que me he tomado una licencia artística ;-)

Fibonacci Series

Once it has appeared the Nautilus we advance to the second part of the animation. It introduces the concept of Golden Ratio by constructing a Golden Rectangle. We start from a simple square to get that and use a classic method that requires only a ruler and drawing compass. See the complete process on the following series of illustrations:

 

Una vez que ha aparecido el Nautilus se da paso a la segunda parte de la animación. En ella se introduce el concepto de Proporción Áurea mediante la construcción de un Rectángulo Áureo. Para ello partimos de un simple cuadrado y utilizamos un procedimiento clásico que sólo requiere regla y compás. Lo podemos ver en la siguiente serie de ilustraciones:

Fibonacci Series

This is very special rectangle known since ancient times. It fulfills this ratio, also known as the Golden Ratio or Divine Proportion: the ratio of the sum of the quantities (a+b) to the larger quantity (a) is equal to the ratio of the larger quantity (a) to the smaller one (b).

 

Se trata un rectángulo muy especial y conocido desde antiguo. En él se cumple esta proporción, también conocida como Razón Áurea o Divina Proporción: el lado mayor (a) es al lado menor (b) lo que la suma de ambos (a+b) es al mayor (a).

Fibonacci Series

The result of this ratio (ie the division of a by b) is an irrational number known as Phi —not to be confused with Pi— and an approximate value of 1.61803399…

Formerly was not conceived as a true "unit" but as a simple relationship of proportionality between two segments. And we find in many works created by the mankind in art and architecture, from the Babylonian and Assyrian civilizations to our days, passing through ancient Greece or the Renaissance.

 

El resultado de esta proporción (es decir, de la división de a por b) es un número irracional también conocido como Phi —no confundir con Pi— y con un valor aproximado de 1,61803399…

Antiguamente no se concebía como una verdadera “unidad” sino como una sencilla relación de proporcionalidad entre dos segmentos. Y podemos encontrarla en numerosas figuras creadas por el ser humano en el arte y la arquitectura, desde las civilizaciones Babilónicas o Asirias hasta nuestros días, pasando por la Antigua Grecia o el Renacimiento.

JUST A CURIOSITY: it isn't evident on the animation, but there is a deep connection between the Fibonacci Sequence and Golden Ratio.

You have an example at right (we will see another one): if we divide each value in the Fibonacci Series by the previous, the result tends to Phi. The higher the value, the greater the approximation (consider that Phi, like any irrational number, has infinite decimals).

 

Fibonacci Series

  UNA CURIOSIDAD: no está evidenciada en la animación, pero existe una profunda relación entre la Sucesión de Fibonacci y la Proporción Áurea.

A la izquierda tenemos un ejemplo (luego veremos otro más): si vamos dividiendo cada valor de la Serie de Fibonacci por el anterior, el resultado tiende a Phi. Cuanto más altos son los valores, mayor es la aproximación (considerad que Phi, como todo número irracional, tiene infinitos decimales).

We are going one step further on the animation by introducing a new concept, maybe less known but equally important, the Golden Angle. That is, the angular proportional relationship between two circular segments:

 

En la animación vamos un pasito más allá y llegamos a un nuevo concepto, quizás no tan conocido, pero igualmente importante: el Ángulo Áureo. Es decir, la relación angular de proporción entre dos segmentos circulares:

Fibonacci Series

These two circular segments are accomplishing too with the same golden proportionality, but on this case the value of the angle formed by the smallest of them is another irrational number, we can simplify and round it as 137.5 º

And this value is deeply present in nature. This is the next concept we see on the animation: how to configure the structure formed by the sunflower seeds.

Look at the figures below:

 

Con estos dos segmentos circulares se sigue cumpliendo la misma proporcionalidad áurea, pero en este caso el valor del ángulo formado por el menor de ellos es otro número irracional, que podemos simplificar y redondear como 137,5º

Y resulta que ese valor está muy presente en la naturaleza. Esto es lo siguiente que vemos en la animación: cómo se configura la estructura que forman las pipas de un girasol.

Fijáos en al siguientes figuras:

Fibonacci Series

— We add a first red seed.

— Turn 137.5º

— Add a second green color seed and make the previous traveling to the center.

— Turn other 137.5º

— Add a third ocher seed and make the previous traveling to the center, to stay side by side with the first one.

— Turn other 137.5º…

…and so on, seed after seed, we will obtain gradually a kind of distributions like the ones you have in the following figures.

 

— Aportamos una primera pipa de color rojo.

— Giramos 137,5º

— Añadimos una segunda pipa de color verde y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro.

— Giramos otros 137,5º

— Añadimos una tercera pipa de color tostado y hacemos que la anterior se vaya hacia el centro, hasta tocar con la primera.

— Giramos otros 137,5º…

… y así sucesivamente, pipa tras pipa, iríamos obteniendo paulatinamente unas distribuciones como las que tenéis en las siguientes figuras.

Fibonacci Series

This leads to the characteristic structure in which all seeds are arranged into a sunflower, which is as compact as possible. We have always said: nature is wise :-)

ANOTHER CURIOSITY: Do you remember we had commented that there had a deep connection between the Fibonacci Sequence and Golden Ratio? Well, next we have another meeting point between both concepts. Look at the following images of a sunflower:

 

De este modo llegamos a la estructura característica en la que están dispuestas todas las pipas en su girasol, que es la más compacta posible. Siempre se ha dicho: la naturaleza es sabia :-)

OTRA CURIOSIDAD: ¿Recordáis que habíamos comentado que había una profunda relación entre la Sucesión de Fibonacci y la Proporción Áurea? Pues bien, a continuación tenemos otro punto de encuentro entre ambos conceptos. Fijaos en las siguientes imágenes de un girasol:

By observing closely the seeds configuration you will see how appears a kind of spiral patterns. In the top left picture we have highlighted three of the spirals typologies that could be found on almost any sunflower.

Well, if you look at one of the typologies, for example the one in green, and you go to the illustration above right you can check that there is a certain number of spirals like this, specifically 55 spirals. Coincidentally a number that is within the Fibonacci Sequence ;-)

 

Si observáis atentamente la configuración de las pipas veréis cómo aparecen una serie de patrones en espiral. En la ilustración superior izquierda tenéis resaltadas tres de las tipologías de espirales que podemos encontrar.

Pues bien: si os centráis en una de las tipologías, por ejemplo la que aparece en verde, y os váis a la ilustración superior derecha podréis comprobar que se cuentan un número determinado de espirales como ésta, concretamente 55 espirales. Casualmente un número que está dentro de la Sucesión de Fibonacci ;-)

And we have more examples in the two upper panels, cyan and orange, they are also arranged following values that are within the sequence: 34 and 21 spirals.

In principle, all the sunflowers in the world show a number of spirals that are within the Fibonacci Sequence. You could go out to the countryside and look for a plantation to be sure :-)

You can also use this image of a real sunflower or go to this website where this is explained, along with another curiosities.

By the way, I recommend the rest of the Ron Knott site, a mathematician at the University of Surrey in England. His web is full of invaluable and educational information, all very well explained and with large doses of curious and funney elements.

 

Y en las dos ilustraciones superiores tenéis los otros casos, en azul y naranja, que nos proporcionan unos valores que también se hallan dentro de la sucesión: 34 y 21 espirales.

En principio, todos los girasoles del mundo muestran una cantidad de espirales que se hallan dentro de la Sucesión de Fibonacci. Podéis comprobarlo saliendo al campo y buscando una plantación.

También podéis usar ésta imagen de un girasol real o acudir a esta otra web donde aparece explicado, junto a otras curiosidades.

A propósito: os recomiendo el resto de la página de Ron Knott, un matemático de la Universidad de Surrey, en Inglaterra: está llena de información muy valiosa y didáctica, todo muy bien explicado y con grandes dosis de elementos curiosos.


Finally we reached the third segment of the animation in which we work with a concept that is a little less known than the others: the Voronoi Tessellations, also called Dirichlet Tessellation.

I discovered this issue thanks to Hector Garcia's personal site, which I visit almost daily (and despite being a blog dedicated to Japanese culture and everything that is related to that country, also delights us from time to time with other interesting topics, like this one about Delaunay and Voronoi).

These geometric formations are based on a distribution pattern that is easily recognizable in many natural structures, like the wings of some insects or these small capillary ramifications in some plant's leaves.

It is also widely used to optimize the distribution systems based on areas of influence, at the time to decide, for example, where to install phone antennas, or where to build the different delegations for a pizza chain.

Let me show you a very intuitive way to understand how it forms a Voronoi Tiling:

 

Para terminar llegamos a la tercera parte de la animación en la que se trabaja con un concepto un poco menos conocido que los anteriores: las Teselaciones de Voronoi, también conocidas como Polígonos de Thiessen.

Comentaros que este tema lo descubrí gracias a la página de Héctor García, que visito prácticamente a diario (y que a pesar de ser un blog dedicado a la cultura japonesa y todo lo que tiene que ver con aquel país, de vez en cuando también nos regala con otros temas interesantes, como éste de Delaunay y Voronoi).

Estas formaciones geométricas se basan en un patrón de distribución que resulta fácilmente reconocible en muchas estructuras naturales, como las alas de los insectos o las ramificaciones capilares vegetales.

También es ampliamente utilizado para optimizar los sistemas de distribución basados en áreas de influencia, a la hora de decidir, por ejemplo, dónde se instalan las antenas de telefonía o las diferentes delegaciones de una cadena de pizzerías.

Veamos un sistema muy intuitivo de entender cómo se conforma una Teselación de Voronoi:

Fibonacci Series

Imagine we have two points: one red and another blue (top left). Start by drawing a segment joining these dots and then a second orthogonal line who is right in the middle. We have just found the bisector of the segment joining these two points.

Above right we added a third green point, generating two new bisectors that intersect with the first.

If we continue adding points to generate succesive bisectors, with their intersections, will lead to a series of polygons —Voronoi Tiles— around a set of "control points". Thus, the perimeter of each one of these tiles is equidistant to neighboring points and defines their area of influence.

All these segments that interconnect the points form a triangular structure called Delaunay Triangulation. In the illustration below you can see the process as we continue adding points:

 

Imaginad que tenemos dos puntos: uno rojo y otro azul (arriba a la izquierda). Empezamos trazando una línea que los une y después otra perpendicular que se halle justo en la mitad. Acabamos de hallar la mediatriz del segmento de unión de estos dos puntos.

Arriba a la derecha añadimos un tercer punto verde y generamos dos nuevas mediatrices, que se interseccionan con la primera.

Si seguimos añadiendo puntos podremos ir generando sucesivas mediatrices que, con sus intersecciones, darán lugar a una serie de polígonos —Teselas de Voronoi— alrededor de un conjunto de “puntos de control”. De esta manera, el perímetro de los polígonos generados es equidistante a los puntos vecinos y designa su área de influencia.

Los segmentos que unen directamente los puntos forman una estructura triangular conocida como Triangulación de Delaunay. En la siguiente ilustración podéis ver el proceso conforme vamos añadiendo puntos:

Fibonacci Series

We can find interactive sites on the internet (like this) to draw points, move them, and check how the structure becomes updated in real time.

In fact, if we have a series of random dots scattered in the plane, the best way of finding the correct Voronoi Telesación for this set is using the Delaunay triangulation. And in fact, this is precisely the idea shown on the animation: first the Delaunay Triangulation and then, subsequently, the Voronoi Tessellation.

But to draw a correct Delaunay Triangulation is necessary to meet the so-called “Delaunay Condition”. This means that: a network of triangles could be considered Delaunay Triangulation if all circumcircles of all triangles of the network are “empty”.

Notice that actually, given a certain number of points in the plane there is no single way to draw triangles, there are many. But only one possible triangulation meets this condition. It is very simple: we draw a triangle using 3 points only if the circumcircle created using these 3 points is "empty" (not enclosing any other dot).

You see that in the graph below, extracted from Wikipedia:

 

También encontraréis sistemas interactivos en la red, como éste, para ir añadiendo puntos, moverlos y comprobar cómo se actualiza la estructura.

En realidad, si tenemos una serie de puntos aleatorios dispersos en el plano, la mejor forma de hallar la Telesación de Voronoi correspondiente a ese conjunto es partir de la Triangulación de Delaunay. Y de hecho ese es precisamente el orden que se muestra en la animación: primero aparece la Triangulación de Delaunay y posteriormente la Teselación de Voronoi.

Pero para poder trazar una correcta Triangulación de Delaunay es necesario que se cumpla la conocida como “Condición de Delaunay”: una red de triángulos es una triangulación de Delaunay si todas las circunferencias circunscritas de todos los triángulos de la red son “vacías”.

Fijaos que realmente, dados un número determinado de puntos en el plano no existe una única manera de unirlos formando triángulos, existen muchísimas. Pero sólo una posible triangulación cumple con la mencionada condición. Es muy simple: trazaremos un triángulo usando 3 puntos sólo si se cumple que la circunferencia circunscrita a esos 3 puntos es “vacía” (no encierra ningún otro punto).

Podéis verlo en la siguiente gráfica, extraída de la Wikipedia:

Voronoi Voronoi

We could rotate 90 degrees each side of the triangle using the the midpoint after defining the Delaunay Triangulation (top left), to construct the Voronoi Tiling (top right). This is exactly what the animation shows just before that the camera pulls back to show us the structure of our dragonfly wing.

We could also use the centers of each circle, marked in red, as they describe the vertices of Voronoi Tilings.

 

Una vez que tenemos definida la Triangulación de Delaunay (arriba a la izquierda) podemos ir girando 90º cada uno de los segmentos de los triángulos por el punto medio para dar con la Teselación de Voronoi (arriba a la derecha). Exactamente lo que muestra la animación justo antes de alejarnos y mostrar la estructura del ala de nuestra libélula.

También podríamos utilizar los centros de cada circunferencia, marcados en rojo, ya que describen los vértices de las Teselas de Voronoi.

Fibonacci Series

Of course, I am pretty sure of one thing: if we take a real dragonfly, and we analyze their wings with the help of a magnifying glass or microscope (example), we find exceptions and deviations. But it is clear the similarity of both structures.

 

Por supuesto, estoy seguro de que si tomaramos una libélula real y analizasemos sus alas con la ayuda de una lupa o un microscopio (ejemplo), encontraríamos excepciones y desviaciones. Pero es indudable la similitud de ambas estructuras.

Fibonacci Series
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All images copyright Cristóbal Vila

 

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