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Inspirations from Maths
Introduction Watch the movie both from Vimeo or YouTube Still Images Inspirations from Arts Inspirations from Maths

Throughout the course of this animation we see many objects. I imagined that these things could be his travel souvenirs, gifts from friends, sources of inspiration… Some are tridimensional representations of works by Escher and others might be just his tools as artist and engraver. Here you will find some brief explanatory notes about those elements which have a highly mathematical nature, including the works of that great Dutch artist that appears along the film.

  A lo largo del recorrido de esta animación vemos muchos objetos. He imaginado que podrían ser sus recuerdos de viajes, regalos de amigos, fuentes de inspiración… Algunos son obras del propio Escher y otros podrían ser simplemente sus herramientas de trabajo. A continuación encontraréis unas breves notas explicativas sobre aquellos elementos que tienen una marcada naturaleza matemática, incluyendo las obras de ese gran artista holandés que aparecen en la película.
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The Legend of Sessa

The king Check-Rama, marveling at the invention of chess, offered to its inventor, the Brahman Sessa, who chose his own reward. This asked for a grain of wheat for the first square, two for second, four for third and so on, doubling each time the number of grains of the previous square. What seemed like a modest request was impossible to fulfill, since the total number of grains was 2 raised to 64, or what is the same: 18,446,744,073,709,551,616. An amount far greater than the capacity of all the granaries of the vast Persian Empire [ +info ]
  La Leyenda de Sessa

El rey Check-Rama, maravillado por el invento del ajedrez, pidió a su inventor, el brahmán Sessa, que eligiese él mismo su recompensa. Éste pidió un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente, doblando cada vez el número de granos de la casilla anterior. Lo que parecía una petición modesta resultó imposible de satisfacer, ya que el total de granos solicitados era de 2 elevado a 64, o lo que es lo mismo: 18.446.744.073.709.551.616. Una cantidad muy superior a la capacidad de todos los graneros del vasto Imperio Persa [ +info ]
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The five platonic solids

Plato knew that there are only five regular convex polyhedra:
— The regular tetrahedron composed of four equilateral triangles.
— The cube or regular hexahedron formed by six squares.
— The regular octahedron, consisting of eight equilateral triangles.
— The regular dodecahedron, composed of twelve pentagons.
— The regular icosahedron consisting of twenty equilateral triangles.
All of them can be represented in a plane and are easily constructible in cardboard [ +info ]


Los cinco sólidos platónicos

Platón sabía que sólo existen cinco poliedros convexos regulares:
— El tetraedro regular, compuesto por cuatro triángulos equiláteros.
— El cubo o hexaedro regular, formado por seis cuadrados.
— El octaedro regular, formado por ocho triángulos equiláteros.
— El dodecaedro regular, compuesto por doce pentágonos.
— El icosaedro regular, formado por veinte triángulos equiláteros.
Todos ellos, por cierto, tienen un desarrollo plano y son fácilmente construibles en cartulina [ +info ]
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Homogeneous tilings

There are eleven types of “homogeneous” tessellations (regular + semiregular), ie those that are made exclusively with regular polygons and can be constructed from equilateral triangles, squares, hexagons, octagons and dodecagons. Only one of them is presented in two different forms of reflection (the two that are placed at center), resulting in all these twelve combinations you see in this figure [ +info ]

  Mosaicos homogéneos

Existen once tipos de mosaicos “homogéneos” (regulares + semiregulares), es decir, aquellos que están formados exclusivamente con polígonos regulares, que pueden construirse a partir de triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Sólo uno de ellos se presenta bajo dos formas diferentes por reflexión (los dos del centro), dando lugar a los doce de la ilustración [ +info ]

Fermat's Last Theorem

This is one of the most famous theorems in the history of mathematics. It states that: “no three positive integers x, y, and z can satisfy the equation at right for any integer value of n greater than two” [ +info ]


Último teorema de Fermat

Se trata de uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Dice así: “si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x,y,z tales que se cumpla la igualdad de la derecha (con x,y,z no nulos)” [ +info ]
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Euler's Formula

It is considered as one of the most “beautiful” formulas, since it links together some of the most important numbers in mathematics, as we see at left. It also provides a powerful connection between analysis and trigonometry. Just as a small curiosity: you can imagine which is the favourite formula for the main character in “The Housekeeper and the Professor” a beautiful book by the Japanese writer Yoko Ogawa [ +info ]


Fórmula de Euler

Se considera como una de las fórmulas más “bellas”, ya que interrelaciona varios de los números más importantes de la matemática, como podemos ver a la izquierda. Además establece una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Ah, y ya os podéis imaginar cuál es “La fórmula preferida del profesor”, un bonito libro de la escritora japonesa Yoko Ogawa [ +info ]
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Cycloid curves

On this model featured in the animation we see a curve being plotted from a spinning wheel over a straight base, without slipping. If the generator point would be located in the edge of the wheel we would get a common cycloid, but in our model the radio can vary, giving place to elongated or shortened cycloids. These kind of curves are very beautiful, and with many applications in engineering and construction [ +info ]

  Curvas Cicloides

En el modelo que aparece en la animación vemos cómo se origina una curva a partir de una rueda que gira sobre una base recta, sin deslizarse. Si el punto generador se encontrase en el borde mismo de la rueda obtendríamos una cicloide común, pero en nuestro modelo el radio puede variar, para dar lugar a cicloides alargadas o acortadas. Son unas curvas muy bellas, y con muchas aplicaciones en ingeniería y construcción [ +info ]
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Galton Box

This is a device developed by Francis Galton, used to demonstrate the Central Limit Theorem. So that upon release of a bunch of pellets by the upper funnel, all of them are finally distributed in a manner which approximates the famous “Gaussian Bell Curve” at the base [ +info ]

  Máquina de Galton

Se trata de un dispositivo desarrollado por Francis Galton que sirve para demostrar el Teorema del Límite Central. De tal modo que al soltar un montón de bolitas por el embudo superior finalmente acaban distribuyéndose en la base de un modo que se aproxima a la famosa “campana de Gauss” [ +info ]
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Anamorphosis

Is a deformation of an image that, when viewed from a certain angle or using some optical device (such as a curved mirror) provides the original image. It has been used often throughout the history of the paint. In fact, one of the postcards that also appears in the animation, "The Ambassadors" also features this trick. Oh, and do not miss the work of István Orosz, which has some beautiful works using these techniques [ +info ]

  Anamorfosis

Se trata de una deformación de una imagen que, al ser observada desde cierto ángulo o a través de un procedimeinto óptico —como un espejo curvo— nos proporciona la imagen original. Se ha empleado con frecuencia a lo largo de la historia de la pintura. De hecho, en una de las postales que también aparecen en al animación, “Los Embajadores” también aparece este recurso. Ah, y no os perdáis el trabajo de István Orosz, que tiene algunos trabajos preciosos usando estas técnicas [ +info ]
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Three spheres II

This is (another) nod to Escher, who also created a small picture with these items. At the same time is a kind of homage to 3D computer graphics, since the sphere is often used as a basic element to represent the color, reflection, refraction and other material properties.

  Tres esferas II

Este es (otro) guiño a Escher, que también creó una pequeña ilustración con estos elementos. Y al mismo tiempo es una especie de homenaje a la infografía 3D, ya que la esfera suele emplearse como elemento básico para representar el color, la reflexión, la refracción y el resto de características materiales.
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Spirals

Here is a 3D representation of another work by Escher. In the animation we can see how the initial form of torus is transformed into this set of spirals turning in on themselves.


Espirales

Aquí tenemos una representación 3D de un trabajo de Escher. En la animación podemos ver cómo la forma inicial de toro se transforma en este conjunto de espirales girando sobre sí mismas.

Solitary

This is a very old game (its origins are not known with certainty, so that I could find). One author says it's a game of Roman origin and Ovid described it in detail. In my case I have always called "Berber Solitary" by the simple fact that many years ago I bought one of these in the Atlas Mountains in Morocco, carved in wood in the bud. And I included it in an old work with more than 10 years, but now I've gone back to modeling for the occasion. :-)


Solitario

Se trata de un juego muy antiguo (por lo que he podido averiguar sus orígenes no se conocen con certeza). Algún autor afirma que es un juego romano y que ya Ovidio lo describía con detalle. En mi caso siempre lo he llamado “Solitario Bereber” por el simple hecho de que hace muchos años compré uno de estos en las montañas del Atlas, en Marruecos, tallado en madera de raíz. Aunque lo he vuelto a modelar para la ocasión, ya lo incluí en un viejo trabajo de hace más de 10 años :-)

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Newton's cradle

This is a device which demonstrates the conservation of momentum and energy. We have seen some of these in many films as a typical toy or gadget for desktops [ +info ]

  Péndulo de Newton

Es un dispositivo que demuestra la conservación de la energía y la cantidad de movimiento. Lo hemos visto en multitud de películas como típico juguete o gadget para escritorios [ +info ]
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Planetary

This is another model that has been recycling. Its origin (from where I got the idea, I mean) is in the main room of Fallingwater. I modeled it in order to appear in one of the final shots on that animation. However I have returned to build it for this new project almost from scratch, using Subdivision Surfaces and adding more detail in the gears and chain drives.

  Planetario

Este es otro modelo que ha sufrido un reciclaje. Su origen (de donde he sacado la idea, quiero decir) está en el salón de la Casa de la Cascada. Y aunque lo modelé para una de las tomas finales de esa animación, para este nuevo trabajo lo he vuelto a construir prácticamente desde cero usando Subdivisión de Superficies, y así tener más detalle en los engranajes y cadenas de transmisión.
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Leonardo Bridge

This is an ingenious construction designed by Leonardo da Vinci, in which stability is achieved throughout the structure without using nails, rope or other type of fastener. I got the idea of?the model from an interesting exhibition organized by the Museo de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) in my town.
[ +info about inventions of Leonardo ]

  Puente de Leonardo

Esta es una ingeniosa construcción ideada por Leonardo da Vinci, en la que se logra la estabilidad de toda la estructura sin necesidad de usar clavos, cuerdas ni ningún otro tipo de fijaciones. La idea del modelo la saqué de una interesante exposición montada por el Museo de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) en mi ciudad.
[ +info sobre inventos de Leonardo ]
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Aerial screw by Leonardo

Another model based on a famous drawing by Leonardo da Vinci, which has always been regarded as a vision of the helicopter. There are many images on the internet with wooden models based on that drawing, I have relied on them.

  Tornillo Aéreo de Leonardo

Otro modelo basado en un conocido dibujo de Leonardo da Vinci, que siempre se ha considerado como una visión anticipada del helicóptero. En internet hay multitud de imágenes con modelos en madera basados en ese dibujo, en ellas me he basado.
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Abacus

It's considered the oldest calculating device, adapted and used by many cultures around the World. Its origin is uncertain although it's usually accepted that could be in China, where they still used frequently, as in Japan [ +info ]

  Ábaco

Está considerado como el más antiguo instrumento de cálculo, adaptado y usado por muchas culturas. Su origen es incierto aunque se tiende a aceptar que podría estar en China, donde todavía hoy se usa frecuentemente, al igual que en Japón [ +info ]

Hourglass

This is a simple instrument for measuring a certain lapse of time. His origin is unclear, although it is undoubtedly his almost-hypnotic ability, something which allows it to continue being appreciated today as a decorative object [ +info ]


Reloj de Arena

Este es un sencillo instrumento para medir un determinado transcurso de tiempo. No está claro su origen, aunque lo que resulta indudable es su capacidad casi hipnótica que hace que siga siendo apreciado hoy en día como objeto decorativo [ +info ]

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Three Spheres I

Based on another famous and simple Escher print. Here we find a kind of “multi-level game”, since what appears to be a sphere is actually a flat circle with a print of a reticulated pattern that simulates the volume of the sphere. To make clear the “game” Escher represents the same sphere (a flat disk, in fact) placed in various forms: vertically, stretched and folded in half. The ironic thing is that when we see the original Escher drawing everything is another double game, as the perspective is not real in any of the disks (everything is simulated, since it remains a DRAWING). And as a final curiosity, I had to build a 3D model for animation, a “real CG” tridimensional object, this time, though of course, seeing him on our screens we see something 2D, again.


Tres Esferas I

Basado en otro famoso y sencillo grabado de Escher. En él hay un “juego múltiple”, ya que lo que parece ser una esfera es en realidad un círculo plano con un dibujo de una trama reticulada que simula el volumen de la esfera. Para hacer más evidente el “juego” Escher representa la misma esfera (un disco plano, realmente) puesta en vertical, tumbada y doblada por la mitad. Lo irónico del asunto es que cuando estamos viendo el dibujo original de Escher, todo es otro doble juego, ya que tampoco es real esa sensación de perspectiva en ninguno de los discos (todo es simulado, sigue siendo un DIBUJO). Y como curiosidad final, para la animación se ha tenido que construir un modelo 3D, esta vez sí, aunque claro, al verlo en nuestras pantallas seguimos viendo algo 2D.

Spherical kaleidoscope

This element is based on another model I found in that exhibition by the Museum of Mathematics in Catalonia. I think this was one of the objects that struck me from that event. It was big, you could stick your head inside and by looking around you perceived an enormous sphere, formed from reflections of the small central module. Here's the link to that object in the web of MMACA.


Caleidoscopio Esférico

Este elemento está basado en otro modelo que descubrí en la mencionada exposición del Museo de Matemàtiques de Catalunya. Creo que éste fue uno de los objetos que más me sorprendió de aquella muestra. Era grande, podías meter la cabeza dentro, y al mirar alrededor percibías una esfera enorme, formada a partir de los reflejos del pequeño módulo central. Aquí tenéis el enlace a ese objeto en la web de MMACA.

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Reuleaux Triangle

This has been a device that I've always found very interesting since I discovered it many years ago thanks to the wonderful Enciclopedia Salvat del Estudiante, an old encyclopedia that my mother started buying in fascicles when I was ten. I was very surprised to find out that it was possible to build rollers with a quasi-triangular section in a way that a platform could roll over them, like with cylinders, with no oscillations. And we could use it as special drill to get square holes (although obviously it should not rotate exactly around his center, but would have to make a kind of movement like the one you see in the animation) [ +info ]

  Triángulo de Reuleaux

Este ha sido un objeto que siempre me ha llamado mucho la atención, desde que lo descubrí hace muchos años gracias a la maravillosa Enciclopedia Salvat del Estudiante, que mi madre empezó a comprarme por fascículos cuando yo tenía diez años. Me sorprendió mucho averiguar que era posible construir rodillos con esta sección quasi-triangular y hacer que una plataforma pudiera deslizarse por ellos, como si fueran cilindros, sin ningún traqueteo. O que se pueden realizar agujeros cuadrados si usamos brocas con esta sección (aunque lógicamente no deberían girar respecto al centro, sino que tendrían que realizar el movimiento que se ve en la animación) [ +info ]
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Cube with double dovetail joints

Another little curiosity drawn from the aforementioned Enciclopedia Salvat del Estudiante (like many other ideas on this animation): How is it possible to explain the manufacturing process of a cube of wood like this, with these two dovetails joints flowing through it that way? The solution is simple, as seen in the animation :-)


Cubo con doble cola de milano

Otra pequeña curiosidad sacada de la mencionada Enciclopedia Salvat del Estudiante (como muchos otros elementos de esta animación): ¿cómo es posible explicar el proceso de fabricación de un cubo en madera como éste, con esas dos colas de milano que lo atraviesan de esa forma? La solución es bien sencilla, como se puede ver en la animación :-)

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Puzzles of Sam Loyd

Another idea taken from the aforementioned exhibition organized by the MMACA. This is one of those puzzles which can cost considerably more to get than it appears at first sight. But once someone shows you the method for solving (sorting the pieces in a certain way) is very easy. In this link you can see it on the MMACA website, and if you click on the question mark you will see the method for solve it. Sam Loyd was an American chess player, chess composer, puzzle author, and recreational mathematician [ +info ]

  Puzle de Sam Loyd

Otra idea sacada de la exposición organizada por el MMACA. Es uno de esos puzles que puede costar hacer bastante más de lo que aparenta a primera vista. Pero una vez te explican el método para resolverlo (clasificando las piezas de una determinada manera) resulta facilísimo. En este enlace podéis verlo en la web del MMACA, y si pincháis sobre el signo interrogante veréis el mencionado método. Sam Loyd fue un conocido jugador y compositor de ajedrez, autor de rompecabezas y matemático recreativo [ +info ]

Tangram

It is an ancient Chinese game that is to form figures with seven pieces resulting from cutting a square sheet. So usually appears within a box with that form to sell and keep [ +info ]


Tangram

Es un juego chino muy antiguo que consiste en formar figuras con las siete piezas resultantes de cortar una lámina cuadrada. Así que para presentarlo y guardarlo se suele hacer dentro de una cajita de esa forma [ +info ]

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Pentominoes puzzle

Is another simple game created with the 12 possible pentominoes, which when arranged in a certain way they fit perfectly into their box. There are exactly 2339 different ways to combine them. Another one of those wooden games have always liked and I have in a shelf of my living room [ +info ]


Puzle de pentominós

Es otro sencillo juego creado con los 12 pentominós posibles, que al ser ordenados de una determinada manera encajan dentro de su cajita. Existen exactamente 2339 formas diferentes de combinarlas. Otro de esos juegos de madera que siempre me han gustado y tengo en una estantería del salón de mi casa [ +info ]

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The seven bridges of Königsberg

In the city of Königsberg (now Kaliningrad, Russia) the Pregel river branched into two channels. It formed an island that was communicated with the banks through seven bridges, as shown in the above model. The tradition said that one of the distractions of its inhabitants was to try to cross the seven bridges without passing more than once for the same. The Swiss mathematician Leonhard Euler, who lived at the court of Russia, showed that it was impossible to get it [ +info ]

  Los siete puentes de Königsberg

En la ciudad de Königsberg (actual Kaliningrado, Rusia) el río Pregel se ramificaba en dos cauces. Se formaba así una isla que comunicaba con las orillas mediante siete puentes, como se muestra en la maqueta superior. La tradición decía que una de las distracciones de sus habitantes consistía en tratar de recorrer los siete puentes sin pasar más de una vez por el mismo. El matemático suizo Leonhard Euler, que vivió en la corte de Rusia, demostró que era imposible realizar semejante paseo [ +info ]
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Scissors unleashed

Another detail taken from Enciclopedia Salvat del Estudiante, barely seen in the animation, really: a seamstress (well, in our case, Escher himself, let's imagine) was in the habit of tying his scissors as shown in the figure, by a string subject to a nail under the table, so that their children could not take and lose it. One day, however, her children got to unleash the scissors without cutting the string or remove the nail. How did they do? [ click here to see the solution ]

  Las tijeras liberadas

Otro detalle sacado de la Enciclopedia Salvat del Estudiante, que apenas puede verse en la animación, la verdad: una costurera (bueno, en nuestro caso, el propio Escher, suponemos) tenía la costumbre de atar sus tijeras como se ve en al figura, mediante un cordón sujeto a un clavo bajo la mesa, para que sus hijos no pudieran llevárselas y perderlas. Un día, no obstante, sus hijos consiguieron llevárselas sin cortar la cuerda ni sacar el clavo. ¿Cómo lo hicieron? [ pincha aquí para ver la solución ]
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Reptiles

This is the main protagonist of the animation. One of the best known works by Escher, where he plays with the two-dimensional complex combination of tiles and their transformation into three-dimensional elements, the crocodiles. Escher also applies here a sense of humor, looking for the paradox, but without attempting to transcend philosophical explanations of any kind. Although many people always want to see deep esoteric meanings, even there where there are not at all, as you can read in the Wikipedia article [ +info ]

  Reptiles

Este es el principal protagonista de la animación. Una de las obras más conocidas de Escher, en donde juega con la combinación de teselas complejas bidimensionales y su transformación en elementos tridimensionales —los cocodrilos—. Aquí, además, Escher también aplica cierto sentido del humor, buscando la paradoja, pero sin pretender trascender con explicaciones filosóficas de ningún tipo. Aunque mucha gente siempre quiere ver profundos sentidos esotéricos, incluso allá donde no los hay, como podéis leer en el artículo de la Wikipedia [ +info ]
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All images copyright Cristóbal Vila